Beräkningar av bevisvärden enligt Bayes sats för tre av morden

av Göran Lambertz, den 8 januari 2017

Inledning

Den 2 september 2016 publicerade jag i Extramaterialet till Quickologi en PM om beräkningar med Bayes sats. Där hade jag med beräkningar av det ackumulerade bevisvärdet i Therese-fallet. I den här promemorian finns motsvarande beräkningar för ytterligare två av de åtta mord som Thomas Quick dömdes för innan han sedermera frikändes efter resning. Det gäller morden på Johan Asplund och Charles Zelmanovits. Även beräkningarna för mordet på Therese Johannessen finns med, varvid jag har varit ännu försiktigare med indata än jag var i promemorian den 2 september.

Först i promemorian finns en kort repetition av Bayes sats, och hur man räknar med den. Därefter kommer den nya beräkningen i Therese-fallet, där jag nu har tagit med ytterligare ett bevis jämfört med den tidigare promemorian. Och därefter följer beräkningar för de båda andra morden (avsnitt 3 Johan Asplund och avsnitt 4 Charles Zelmanovits). Sist finns en sammanfattning och några slutsatser (avsnitt 5).

Jag har för avsikt att så småningom göra beräkningar även för morden på Trine Jensen, Gry Storvik, Janny och Marinus Stegehuis samt Yenon Levi.

Promemorian innehåller väldigt mycket siffror och beräkningar, och det kan ha blivit fel på några ställen. Jag ber att den som upptäcker sådana hör av sig till mig på adressen pm@goranlambertz.se. Även invändningar mot beräkningssättet och indata är välkomna, gärna då rimligt motiverade.

Det bör också nämnas att jag inte är konsekvent när det gäller antalet decimaler i beräkningarna. Det viktiga är att avrundningarna inte nämnvärt påverkar resultaten, och det ser jag till.

1 Bayes sats

Bayes sats kan beskrivas i symboler så här: P (A givet B) = [P (B givet A) x P (A)] / [P (B givet A) x P (A)] + [P (B givet ej A) x P (ej A)].

I ord kan den beskrivas enligt följande:

Sannolikheten för skuld givet viss omständighet är lika med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] delat med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] plus [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet oskuld gånger ursprungssannolikheten för oskuld].

När man använder denna formel för att beräkna det ackumulerade värdet av flera bevis får man räkna med ett bevis i taget. När man har gjort beräkningen för ett bevis går man vidare till nästa, varvid resultatet av den föregående beräkningen inkorporeras i A på så sätt att ursprungssannolikheten, P (A), i den följande beräkningen tar hänsyn till det bevis som användes i den föregående. I det första steget står alltså A för ”skuld utan bevis”, i det andra steget för ”skuld när hänsyn tas till det bevis som användes vid den förra beräkningen” osv.

Illustration

För att underlätta förståelsen av hur formeln fungerar kan man lägga in en omständighet som är helt irrelevant för bevisvärdet. Anta exempelvis att vi har ett mordfall där vi försöker bedöma värdet av de bevis som finns mot en misstänkt person. Anta vidare att vi har kunnat värdera den samlade hittills beaktade bevisningen så att sannolikheten för att personen är skyldig till mordet är 0,8, alltså 80 %. Vi lägger sedan till det helt irrelevanta ”beviset” att vi får krona (inte klave) när vi singlar slant om personens skuld. Och det som vi vill veta är P (A givet B), dvs. sannolikheten för skuld sedan vi har tagit hänsyn till detta ”bevis”. Då får vi dessa värden för de olika faktorerna på den högra sidan om likhetstecknet i formeln:

1. P (B givet A), alltså sannolikheten för att det blir krona i slantsinglingen givet att personen är skyldig och givet de tidigare beaktade omständigheterna. Detta blir 0,5. Sannolikheten för att det blir krona är naturligtvis oberoende av skuld och bevis.

2. P (A), alltså sannolikheten för skuld givet de tidigare beaktade bevisen. Den sannolikheten har vi alltså tidigare beräknat till 0,8.

3. P (B givet ej A), alltså sannolikheten för att det blir krona i slantsinglingen givet att personen är oskyldig och givet de tidigare beaktade omständigheterna. Detta är 0,5, eftersom sannolikheten för krona i slantsinglingen är oberoende av skuld och bevis.

4. P (ej A), alltså sannolikheten för oskuld givet de tidigare beaktade bevisen. Denna sannolikhet är 1 minus sannolikheten för skuld givet bevisen, alltså 0,2.

Och uträkningen ger då:

P (A givet krona i slantsinglingen) = [0,5 x 0,8] / [(0,5 x 0,8) + (0,5 x 0,2)] = 0,4 / [0,4 + 0,1] = 0,4 / 0,5 = 0,8

Detta visar, som vi hade anledning att anta, att det ackumulerade bevisvärdet inte påverkas av att vi stoppar in värdet för ett helt irrelevant bevis i formeln. Vi kan undersöka vad som händer om vi i stället stoppar in en irrelevant sannolikhet 1, t.ex sannolikheten för att det ska bli antingen krona eller klave. Då får vi:

P (A givet krona eller klave i slantsinglingen) = 1 x 0,8 / [(1 x 0,8) + (1 x 0,2)] = 0,8 / 1 = 0,8

2 Beräkningar i fallet Therese Johannessen

Angående detta fall, se Quickologi s. 99 f.

Bevisomständigheter beträffande Therese (se s. 117 ff., 119 ff., 130 f., 136 ff., 248 f., 271 ff. och 300 f. i Quickologi)

Omständigheter som påverkar bevisvärderingen avseende alla åtta mord:

1. Erkännandet (s. 138 p. 40 i Quickologi)

2.Berättelsen som sådan med detaljer, hängde ihop etc. (s. 137 p. 39)

3. TQs bakgrund med våld och tidigare övergrepp (s. 117 p. 1)

4. Den psykiatriska diagnosen (s. 117 p. 2)

5. Alla utredningar nedlagda när han erkände, morden ouppklarade (s. 118 p. 3)

6. Det finns ingen annan rejält misstänkt (s. 118 p. 3)

7. Nästan alla uppfattade att TQ i huvudsak talade sanning (s. 118 p. 4)

8. Cigarrettpaketet med könshåren (s. 136 p. 36)

9. Zampos markeringar i ärenden som inte åtalades (s. 248 f.)

10. Inte alibi (s. 118 p. 5)

11. Mycket få konkreta omständigheter som talar mot hans skuld (s. 118 p. 5)

12. Inget i förundersökningarna gav skäl till misstanke att TQ ljög (s. 118 p. 6)

13. Boken Kvarblivelse bör ha varit svår att ljuga ihop (s. 118 p. 7)

14. TQ skrev grova sexualsadistiska texter på Säter (s. 119 p. 8)

Omständigheter som avser enbart Therese:

15. Inristningen i björken i Örjeskogen (s. 119 p. 1)

16. Klipputsprånget (s. 120 p. 2)

17. Sågbladet i Örjeskogen (s. 120 p. 3)

18. Bålplatsen vid Ringentjärn (s. 120 p. 4)

19. Vägbommen (s. 120 p. 5)

20. Huset och häcken vid Haerlands kyrka (s. 120 p. 6)

21. Zampos markering i klippskrevan (s. 121 p. 7)

22. Zampos markeringar i övrigt i Therese-utredningen (s. 121 p. 7)

23. Den norska hunden Oscars markeringar på pläden (s. 121 p. 7)

24. Pläden hade lagts ut någon gång 1987-89 (s. 121 p. 7)

25. Fosfatkarteringarna. (Förekom sådana under Therese-utredningen?)

26. Bräderna i bostadsområdet Fjell (s. 121 p. 8)

27. Balkongerna i bostadsområdet Fjell (s. 122 p. 9)

28. Skissen över Fjell (s. 122 p. 10)

29. P-platsen vid vägen mot Fjell (s. 122 p. 11)

30. Daghemmet och banken (s. 122 p. 12)

31. Stängd väg mot Fjell (s. 122 p. 13)

32. Astmaandning (s. 122 p. 14)

33. Eksem (s. 122 p. 15)

34. Utvuxna framtänder (s. 122 p. 16)

35. Den krockade Mazdan (s. 123 p. 17)

36. Metallbit och kol vid bålplats (s. 123 p. 18)

Jag använder tills vidare sex omständigheter i beräkningen. Av de omständigheter som avser alla morden samlar jag ihop de sju första till en, ”erkännandet, berättelsen, TQ:s bakgrund och diagnos, utredningen var nedlagd, mordet är ouppklarat och ingen rejält misstänkt finns samt nästan alla inblandade uppfattade att han talade sanning”. Vidare lägger jag ihop omständigheterna 26-31 till ”mycket starka bevis för att Bergwall var på platsen ungefär vid tiden för Thereses försvinnande” och omständigheterna 32-34 till ”TQ kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese”. I övrigt använder jag mig av punkterna 15 (inristningen), 17 (sågbladet) och 21 (Zampos markering).

För att repetera det nyss sagda använder jag alltså följande sex omständigheter:

1. Erkännandet, berättelsen, TQ:s bakgrund och diagnos, utredningen var nedlagd, mordet är ouppklarat och ingen rejält misstänkt finns samt nästan alla inblandade uppfattade att han talade sanning.

2. Mycket starka bevis för att Bergwall var på platsen ungefär vid tiden för Thereses försvinnande.

3. TQ kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese.

4. Inristningen i björken.

5. Sågbladet som hittades i skogen efter TQ:s anvisning.

6. Zampos markering i klippskrevan.

Motbevisningen i Therese-fallet består främst i ifrågasättanden av de enskilda bevisen. Till den delen beaktar jag den genom att ta hänsyn till den i värderingen av de bevis som jag använder i beräkningarna. Det finns dessutom ett motbevis som är oberoende av den positiva bevisningen, nämligen alibibevisningen avseende att Bergwall möjligen arbetade i kiosken i Grycksbo när mordet begicks (se s. 274 i Quickologi). Detta bevis kvittar jag mot all den positiva bevisning som jag inte tar med i beräkningarna.

För att repetera Bayes sats ser den alltså ut så här: Sannolikheten för skuld givet viss omständighet är lika med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] delat med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] plus [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet oskuld gånger ursprungssannolikheten för oskuld]. – Formeln används vid varje beräkning, varvid resultatet av den föregående beräkningen inkorporeras i A på så sätt att ursprungssannolikheten, P (A), i den följande beräkningen tar hänsyn till det bevis som användes i den föregående. I det första steget står alltså A för ”skuld utan bevis”, i det andra steget för ”skuld när hänsyn tas till det bevis som användes vid den förra beräkningen” osv.

I den första uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet det som vi kan kalla den utvidgade ursprungssannolikheten (den som följer av erkännandet, berättelsen, TQ:s bakgrund och diagnos, att utredningen var nedlagd, att mordet är ouppklarat och att ingen rejält misstänkt finns samt att nästan alla inblandade uppfattade att TQ talade sanning). För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger givet att Bergwall är skyldig. – Jag värderar den, bl.a. med beaktande av att siffran skulle bli mycket hög om jag tog en omständighet i taget, till 0,8 (lågt tror jag).

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig, om vi utgår från att den skyldige är en av de ca 10 milj. personer som bor i Sverige och Norge och är mellan 13 och 70 år. – Den är 1 på 10 miljoner, alltså 0,0000001.

3. Sannolikheten för att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger givet att Bergwall är oskyldig. – Med beaktande av all osäkerhet som föreligger kring erkännandet och berättelserna (att Sture Bergwall har tagit tillbaka erkännandena, att han ibland var allvarligt påverkad av bensodiazepiner, att han var allvarligt psykiskt störd, att han lämnade uppgifter om två pojkar i Norge som visade sig vara vid liv, att han hade möjlighet att lära sig en del detaljer av polis och genom tidningsstudier, att han ofta ändrade sig (t.ex. beträffande medgärningsmän) och att hans uppgifter ibland var motstridiga, att han ibland fick ledande frågor och att risken för falska erkännanden är förhöjd hos en person som under påverkan av bensodiazepiner genomgår en suggestiv psykoterapi) värderar jag denna sannolikhet, mycket högt tror jag, till 0,5.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet att han inte som utgångspunkt antas vara mer skyldig än någon annan vuxen person i Sverige eller Norge. – Den är 0,9999999.

Det ger följande:

P (skuld givet utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,8 x 0,0000001] / [0,8 x 0,0000001] + [0,5 x 0,9999999] = 0,00000008 / [0,00000008 + 0,49999995] = 0,00000008 / 0,50000003 ≈ 0,00000016

I den andra uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet bevisen för att han var på platsen (nytt bevis i denna uträkning) och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att bevisningen för att Bergwall var på platsen föreligger givet att han är skyldig och att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger. – Denna sannolikhet måste anses hög, även om det är ovanligt att man känner till så många detaljer. (Observera att siffran skulle bli väldigt hög om jag tog en omständighet i taget, det är kanske en felkälla.) Jag värderar den, mycket lågt räknat tror jag, till 0,6.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten och att den skyldige är en av de ca 10 milj. personer som bor i Sverige och Norge och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 1, den är 0,00000016.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten. – Den är 1 minus 0,00000016 = 0,99999984.

Det ger följande:

P (skuld givet bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,6 x 0,00000016] / [0,6 x 0,00000016] + [0,01 x 0,99999984] = 0,000000096 / [0,000000096 + 0,0099999984] = 0,000000096 / 0,0100000944 ≈ 0,0000096 – alltså bara 0,00096 % än så länge.

I den tredje uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese (nytt bevis i denna uträkning), bevisen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger och att det fanns stark bevisning om att han hade varit i Fjell. – Denna sannolikhet måste anses hög, även om det är ovanligt att man känner till så många detaljer. (Observera att den ackumulerade siffran även här skulle bli väldigt hög om jag tog en omständighet i taget, något som dock kanske skulle innebära en övervärdering av de ackumulerade bevisen.) Jag värderar den, mycket lågt räknat tror jag, till 0,6.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet bevisningen för att han var i Fjell och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 2, den är 0,0000096.

3. Sannolikheten för att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese givet att han är oskyldig, att bevisningen för att han var på platsen föreligger och att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen utomordentligt låg. Jag värderar den, alldeles för högt tror jag, till 0,001, dvs. en på tusen. (I min förra PM använde jag här värdet en på miljonen.)

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten och hans kännedom om bostadsområdet. – Den är 1 minus 0,0000096 = 0,9999904.

Det ger följande:

P (skuld givet hans kännedom om kroppsliga detaljer, bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,6 x 0,0000096] / [0,6 x 0,0000096] + [0,001 x 0,9999904] = 0,00000576 / [0,00000576 + 0,0009999904] = 0,00000576 / 0,0010057504 ≈ 0,00572707 – alltså 0,5727 % än så länge.

I den fjärde uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han berättade om inristningen i björken (nytt bevis i denna uträkning), kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, bevisen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att han kunde berätta om inristningen i björken givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att det fanns stark bevisning om att han hade varit i Fjell och att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese. – Denna sannolikhet måste anses mycket hög, även om det kanske är ovanligt att man kommer ihåg sådana detaljer. Jag värderar den, mycket lågt räknat tror jag, till 0,8.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han kunde berätta om de kroppsliga egenheterna, bevisningen för att han var i Fjell och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 3, den är 0,005727.

3. Sannolikheten för att han kunde berätta om inristningen i björken givet att han är oskyldig, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, att bevisningen för att han var på platsen föreligger och att den utvidgade ursprungssannolikheten också föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen utomordentligt låg. Jag värderar den, mycket högt tror jag, till 0,001, dvs. en på tusen. (I min förra PM använde jag här värdet en på en miljon.)

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten, hans kännedom om bostadsområdet och hans berättelse om de kroppsliga egenheterna. – Den är 1 minus 0,005727 = 0,994273.

Det ger följande:

P (skuld givet hans berättelse om inristningen, hans kännedom om kroppsliga detaljer, bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,8 x 0,005727] / [0,8 x 0,005727] + [0,001 x 0,994273] = 0,004582 / [0,004582 + 0,000994273] = 0,004582 / 0,005776273 ≈ 0,79324547 – alltså 79,324547 % än så länge.

I den femte uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han berättade om ett sågblad som sedan hittades (nytt bevis i denna uträkning), att han berättade om inristningen i björken, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, bevisen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att Quick kunde berätta om sågbladet som sedan hittades givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att det fanns stark bevisning om att han hade varit i Fjell, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese och att han kunde berätta om inristningen i björken. – Denna sannolikhet måste anses mycket hög. Jag värderar den, lågt räknat tror jag, till 0,9.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han berättade om inristningen, kände till de kroppsliga egenheterna, bevisningen för att han var i Fjell och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 4, den är 0,79324547.

3. Sannolikheten för att han kunde berätta om det sågblad som sedan hittades givet att han är oskyldig, att han kunde berätta om inristningen i björken, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, att bevisningen för att han var på platsen föreligger och att den utvidgade ursprungssannolikheten också föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen utomordentligt låg. Jag värderar den, mycket högt tror jag, till 0,001, dvs. en på tusen. (I min förra PM använde jag här värdet en på en miljon.)

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten, hans kännedom om bostadsområdet, hans berättelse om de kroppsliga egenheterna och hans berättelse om inristningen. – Den är 1 minus 0,79324547 = 0,20675453.

Det ger följande:

P (skuld givet hans berättelse om sågbladet, hans kännedom om inristningen, hans kännedom om kroppsliga detaljer, bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,9 x 0,79324547] / [0,9 x 0,79324547] + [0,001 x 0,20675453] = 0,71392092 / [0,71392092 + 0,00020675453] = 0,71392092 / 0,71412767 ≈ 0,99971049 – alltså drygt 99,97 % än så länge.

I den förra promemorian brydde jag mig inte om att ta in något mer bevis eftersom det ackumulerade bevisvärdet redan var så högt. Det låg på mer än 99,999999 %. Här gör jag dock även en sjätte uträkning. Där ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han pekade ut den plats i klippskrevan där hunden Zampo senare markerade (nytt bevis i denna uträkning), att han berättade om ett sågblad som sedan hittades, att han berättade om inristningen i björken, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, bevisen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att Quick kunde peka ut platsen i klippskrevan givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att det fanns stark bevisning om att han hade varit i Fjell, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, att han kunde berätta om inristningen i björken och att han kunde berätta om sågbladet som sedan hittades. – Denna sannolikhet måste anses mycket hög. Jag värderar den, lågt räknat tror jag, till 0,9.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han berättade om sågbladet som sedan hittades och om inristningen, att han kände till de kroppsliga egenheterna, bevisningen för att han var i Fjell och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 5, den är 0,99971049.

3. Sannolikheten för att han kunde peka ut platsen i klippskrevan givet att han är oskyldig, att han kunde berätta om det sågblad som sedan hittades och om inristningen i björken, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, att bevisningen för att han var på platsen föreligger och att den utvidgade ursprungssannolikheten också föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen utomordentligt låg. Jag värderar den, närmast orimligt högt, till 0,001, dvs. en på tusen.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten, hans kännedom om bostadsområdet, hans berättelse om de kroppsliga egenheterna och hans berättelse om dels inristningen, dels sågbladet som hittades. – Den är 1 minus 0,99971049 = 0,00028951.

Det ger följande:

P (skuld givet hans berättelse om sågbladet, hans kännedom om inristningen, hans kännedom om kroppsliga detaljer, bevisningen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten) = [0,9 x 0,99971049] / [0,9 x 0,99971049] + [0,001 x 0,00028951] = 0,89973944 / [0,89973944 + 0,00000028951] = 0,89973944 / 0,89973972951 ≈ 0,99999968 – alltså drygt 99,9999 %.

Efter att jag har tagit hänsyn till sex av bevisomständigheterna i Therese-fallet har jag alltså kommit fram till ett bevisvärde på drygt 99,9999 %. Det finns då inte anledning att gå vidare med beräkningarna genom att föra in ytterligare bevis.

3 Beräkningar i fallet Johan Asplund

Angående detta fall, se Quickologi s. 62 ff.

Bevisomständigheter beträffande Johan (se s. 117 ff., 123 ff., 131, 136 ff., 248 f. och 271 ff. i Quickologi)

Omständigheter som påverkar bevisvärderingen avseende alla åtta mord:

1. Erkännandet (s. 138 p. 40 i Quickologi)

2.Berättelsen som sådan med detaljer, hängde ihop etc. (s. 137 p. 39)

3. TQs bakgrund med våld och tidigare övergrepp (s. 117 p. 1)

4. Den psykiatriska diagnosen (s. 117 p. 2)

5. Alla utredningar nedlagda när han erkände, morden ouppklarade (s. 118 p. 3)

6. Det finns ingen annan rejält misstänkt (s. 118 p. 3)

7. Nästan alla uppfattade att TQ i huvudsak talade sanning (s. 118 p. 4)

8. Cigarrettpaketet med könshåren (s. 136 p. 36)

9. Zampos markeringar i ärenden som inte åtalades (s. 248 f.)

10. Inte alibi (s. 118 p. 5)

11. Mycket få konkreta omständigheter som talar mot hans skuld (s. 118 p. 5)

12. Inget i förundersökningarna gav skäl till misstanke att TQ ljög (s. 118 p. 6)

13. Boken Kvarblivelse bör ha varit svår att ljuga ihop (s. 118 p. 7)

14. TQ skrev grova sexualsadistiska texter på Säter (s. 119 p. 8)

Omständigheter som avser enbart Johan:

15. Styckningsplatsen i Åvike (s. 123 p. 19)

16. Grönt hus på väg mot Åvike (s. 123 p. 20)

17. Zampos markeringar på styckningsplatsen i Åvike (s. 123 p. 22)

18. Zampos markeringar i Västansjö, nära Åvike (s. 123 p. 22)

19. Zampos markeringar på Främby udde (s. 124 p. 23)

20. Fosfathalterna i marken på utpekade ställen (s. 124 p. 25)

21. Mörk pojke med tröja med visst mönster (s. 124 p. 26 och 27)

22. Ljudet som från en dieselmotor (s. 125 p. 28)

23. Damen som ropade Lisa (s. 125 p. 29)

24. Slamsugningsbilen (s. 125 p. 30)

25. Johans födelsemärke och bråck (s. 126 p. 31)

Jag använder tills vidare sex omständigheter i beräkningen, färre om resultatet är så högt att det inte finns anledning att räkna vidare. Av de omständigheter som avser alla morden samlar jag liksom beträffande Therese-mordet ihop de sju första till en, ”erkännandet, berättelsen, TQ:s bakgrund och diagnos, utredningen var nedlagd, mordet är ouppklarat och ingen rejält misstänkt finns samt nästan alla inblandade uppfattade att han talade sanning”. Vidare lägger jag ihop omständigheterna 21-24 till ”mycket starka bevis för att Bergwall var på platsen vid tiden för Johans försvinnande”. I övrigt använder jag mig av punkterna 17 (Zampos markeringar i Åvike), 18 (Zampos markeringar i Västansjö), 25 (Bergwalls uppgifter om Johans födelsemärke och bråck) och 19 (Zampos markeringar på Främby udde).

För att repetera det nyss sagda använder jag alltså följande sex omständigheter:

2. Mycket starka bevis för att Bergwall var på platsen vid tiden för Johans försvinnande.

3. Zampos markeringar i Åvike.

4. Zampos markeringar i Västansjö.

5. TQ:s uppgifter om Johans födelsemärke och bråck.

6. Zampos markeringar på Främby udde.

Motbevisningen i Johan-fallet består i ifrågasättanden av de enskilda bevisen. Det har sålunda påpekats bl.a. att inga fynd gjordes där sökhunden markerade, att Bergwall först sa fel beträffande Johans kroppskännetecken och att det kan ifrågasättas om Bergwall var kapabel att köra så långa sträckor med bil trots att han inte hade körkort. Jag beaktar denna motbevisning Någon motbevisning som är oberoende av den positiva bevisningen finns mig veterligen inte i Johan-fallet.

1. Sannolikheten för att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger givet att Bergwall är skyldig. – Jag värderar den även i detta fall till 0,8 (lågt tror jag).

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig, om vi utgår från att den skyldige är en av de ca 8 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Den är 1 på 8 miljoner, alltså 0,000000125.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet att han inte som utgångspunkt antas vara mer skyldig än någon annan vuxen person i Sverige. – Den är 0,999999875.

Det ger följande:

P (skuld givet utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,8 x 0,000000125] / [0,8 x 0,000000125] + [0,5 x 0,999999875] = 0,0000001 / [0,0000001 + 0,4999999375] = 0,0000001 / 0,5000000375 ≈ 0,00000019999999

1. Sannolikheten för att bevisningen för att Bergwall var på platsen föreligger givet att han är skyldig och att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger. – Denna sannolikhet är svårbedömd men nog faktiskt inte så hög. För varför skulle han veta just dessa saker för att han är skyldig? Jag värderar den, möjligen för lågt räknat, till 0,3.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten och att den skyldige är en av de ca 8 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 1, den är 0,00000019999999.

3. Sannolikheten för att bevisningen för att han var på platsen föreligger givet att Bergwall är oskyldig och att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen mycket låg, även om han förstås kan ha varit i Bosvedjan utan att det har samband med mordet på Johan Asplund. Jag värderar sannolikheten, mycket högt tror jag, till 0,001.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten. – Den är 1 minus 0,00000019999999 = 0,99999980.

Det ger följande:

P (skuld givet bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,3 x 0,00000019999999] / [0,3 x 0,000000199999999] + [0,001 x 0,99999980] = 0,00000006 / [0,00000006 + 0,00099999980] = 0,00000006 / 0,00100005980 ≈ 0,00005999 – alltså 0,0060 % än så länge. (Jag tror inte det finns någon som hävdar att detta är för högt. Det är i varje fall inte i närheten av den bevisvikt som man skulle ha fäst vid de hittills medtagna omständigheterna vid en vanlig domstolsvärdering. Det är nog fullt möjligt att man rentav skulle ha kommit fram till att bevisningen redan här räckt för slutsatsen ”bortom rimligt tvivel”.)

I den tredje uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att Zampo markerade så som skedde i Åvike (nytt bevis i denna uträkning), bevisen för att Bergwall var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att Bergwall skulle peka och Zampo markera så som skedde vid Åvike givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger och att bevisningen finns för att han var i Bosvedjan. – Denna sannolikhet är rimligen hög. Om han faktiskt är skyldig och minns det han gjort, och om hunden är tillförlitlig, är det mycket sannolikt att han pekar där han gör, och också att hunden markerar. Men med hänsyn till de invändningar som finns mot hundens tillförlitlighet, kan det vara lämpligt att inte sätta värdet alltför högt. Jag värderar därför sannolikheten, möjligen för lågt räknat, till 0,7.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet bevisningen för att han var i bostadsområdet Bosvedjan, den utvidgade ursprungssannolikheten samt att den skyldige är en av de ca 8 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 2, den är 0,00005999.

3. Sannolikheten för att Bergwall skulle peka och Zampo markera så som skedde vid Åvike givet att Bergwall är oskyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger och att bevisningen för att han var på plats i Bosvedjan föreligger. – Det är nästan omöjligt att förstå hur detta över huvud taget skulle kunna inträffa. De enda möjligheterna, såvitt jag kan se, är (1) att hunden manipuleras på något sätt utan att hundföraren förstår det eller (2) att såväl poliser som hundföraren är införstådda med en manipulation av hunden eller av protokollet. Jag värderar sannolikheten till 0,000001, alltså en på en miljon. Men för att illustrera det extremt höga samlade bevisvärdet räknar jag ändå med sannolikheten 0,001.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet bevisningen för att han var i bostadsområdet Bosvedjan och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Den är 1 minus 0,00005999 = 0,99994001.

Det ger följande:

P (skuld givet utpekandet och markeringen i Åvike, bevisningen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten) = [0,7 x 0,00005999] / [0,7 x 0,00005999] + [0,001 x 0,99994001] = 0,000041993 / [0,000041993 + 0,00099994001] = 0,000041993 / 0,001041983 ≈ 0,0403010414 – alltså 4,03 % än så länge.

(Räknar man i stället med en sannolikhet på 0,000001 (en på en miljon) för utpekandet och hundmarkeringen, får man resultatet 97,67 enligt denna formel:

P (skuld ê utpekandet och markeringen i Åvike, bevisningen för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,7 x 0,00005999] / [0,7 x 0,00005999] + [0,000001 x 0,99994001] = 0,000041993 / [0,000041993 + 0,00000099994001] = 0,000041993 / 0,00004299294001 ≈ 0,9767417625 – alltså 97,67 % än så länge.)

I den fjärde uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han pekade och Zampo markerade så som skedde i Västansjö (nytt bevis i denna uträkning), att han pekade och Zampo markerade så som skedde vid Åvike, bevisen för att Bergwall var på platsen (Bosvedjan) och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att Bergwall skulle peka och Zampo markera så som skedde i Västansjö givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att bevisningen föreligger för att han var i Bosvedjan och att utpekandet och markeringen skedde vid Åvike. – Denna sannolikhet är rimligen hög. Om han faktiskt är skyldig och minns det han gjort, och om hunden är tillförlitlig, är det mycket sannolikt att han pekar där han gör, och också att hunden markerar. Men med hänsyn till de invändningar som finns mot hundens tillförlitlighet, kan det vara lämpligt att inte heller här sätta värdet alltför högt. Jag värderar därför sannolikheten, troligen för lågt räknat, till 0,7.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet utpekandet och markeringen i Åvike, bevisningen för att han var i bostadsområdet Bosvedjan, den utvidgade ursprungssannolikheten och att den skyldige är en av de ca 8 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 3, den är 0,0403010414.

3. Sannolikheten för att Bergwall skulle peka och Zampo markera så som skedde i Västansjö givet att Bergwall är oskyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att bevisningen för att han var på plats i Bosvedjan föreligger och att Bergwall pekade och Zampo markerade så som skedde i Åvike. – Det är nästan omöjligt att förstå hur detta över huvud taget skulle kunna inträffa. De enda möjligheterna är även här, såvitt jag kan se, att hunden manipuleras på något sätt utan att hundföraren förstår det och att det sker både vid Åvike och Västansjö (1) eller att såväl poliser som hundföraren är införstådda med en manipulation av hunden eller av protokollet vid båda tillfällena (2). Jag värderar sannolikheten, sannolikt mycket lågt, till 0,000001, alltså en på en miljon. Men för att illustrera det extremt höga samlade bevisvärdet räknar jag ändå med sannolikheten 0,001, en chans på tusen.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet att utpekandet och markeringen skedde i Åvike, bevisningen för att han var i bostadsområdet Bosvedjan och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Den är 1 minus 0,0403010414 = 0,05969896.

Det ger följande:

P (skuld givet utpekandet och markeringarna i Västansjö och Åvike, bevisningen för att han var i Bosvedjan vid tillfället samt den utvidgade ursprungssannolikheten) = [0,7 x 0,0403010414] / [0,7 x 0,0403010414] + [0,001 x 0,05969896] = 0,02821072898 / [0,02821072898 + 0,00005969896] = 0,02821072898 / 0,02827042794 ≈ 0,99788828948303 – alltså knappt 99,79 % än så länge.

(Självfallet blir den ackumulerade sannolikheten väldigt mycket högre om man i stället räknar med den enligt min mening betydligt rimligare sannolikheten, en på en miljon, för att Bergwall skulle kunna peka ut den plats där Zampo sedan markerade i Västansjö.)

En invändning kan riktas mot att hundsökningarna finns med i både den tredje uträkningen och den fjärde, nämligen att dessa båda bevis inte är i alla hänseenden oberoende av varandra. Skedde det manipulation av resultatet är det naturligtvis mycket som talar för att en sådan manipulation skedde i alla sammanhang där hunden användes. Jag tror dock inte att någon på allvar har gjort gällande att hundresultaten manipulerades. Skulle någon vilja hävda det, är nog ett flertal personer som har träffat förundersökningsledaren Seppo Penttinen och hundföraren John Sjöberg villiga att gå i god för att resultaten inte är manipulerade.

I den femte uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han nämnde Johans födelsemärke och pungbråck på det sätt han gjorde (nytt bevis i denna uträkning), att han pekade och Zampo markerade så som skedde i Västansjö, att han pekade och Zampo markerade så som skedde i Åvike, bevisen för att Bergwall var på platsen (Bosvedjan) och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att Bergwall skulle nämna Johans födelsemärke och pungbråck på det sätt som skedde givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att bevisningen föreligger för att han var i Bosvedjan och att utpekandet och markeringarna skedde i Åvike och Västansjö. – Denna sannolikhet är svårbedömd, och den spelar för övrigt mycket liten roll för resultatet av uträkningen. Jag väljer att sätta den till 0.5.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet utpekandet och markeringarna i Västansjö och Åvike, bevisningen för att han var i bostadsområdet Bosvedjan vid den aktuella tidpunkten, den utvidgade ursprungssannolikheten och att den skyldige är en av de ca 8 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 4, den är ca 0,997888.

3. Sannolikheten för att Bergwall skulle nämna Johans födelsemärke och pungbråck på det sätt som skedde (bl.a. att han kallade födelsemärket för ett ärr och först förlade det på fel plats på kroppen) givet att Bergwall är oskyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att bevisningen för att han var på plats i Bosvedjan föreligger och att Bergwall pekade och Zampo markerade så som skedde i Åvike och Västansjö. – Sannolikheten för att han under de angivna förutsättningarna skulle ha nämnt födelsemärket och bråcket på det sätt han gjorde, även om det var delvis fel, måste bedömas som oerhört liten. Det var i så fall fråga om en mycket avancerad gissning, för han kunde inte ha fått uppgifterna från någon annan. (Detta är f.ö. ett bra exempel på hur motargumenten mot beviset blir helt vilseledande.) Jag värderar sannolikheten, för att det inte ska finnas någon rimlig risk för ett påstående om överdrift, till 0,001, alltså en på tusen.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet att utpekandet och markeringarna skedde i Västansjö och Åvike, bevisningen för att han var i bostadsområdet Bosvedjan och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Den är ca 1 minus 0,997888 = 0,002112.

Det ger följande:

P (skuld givet omnämnandet av födelsemärket och bråcket, utpekandet och markeringarna i Västansjö och Åvike, bevisningen för att han var på platsen (Bosvedjan) och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,5 x 0,997888] / [0,5 x 0,997888] + [0,001 x 0,002112] = 0,498944 / [0,498944 + 0,000002112] = 0,498944 / 0,498946112 ≈ 0,99999577 – alltså drygt 99,999 %.

Efter att jag har tagit hänsyn till fem av bevisomständigheterna i Johan-fallet har jag alltså kommit fram till ett bevisvärde på drygt 99,999 %. Det finns då inte anledning att gå vidare med beräkningarna.

4 Beräkningar i fallet Charles Zelmanovits

Angående detta fall, se Quickologi s. 58 ff.

Bevisomständigheter beträffande Charles Zelmanovits (se s. 117 ff., 128 f., 135 f., 136 ff., 248 f. och 271 ff. i Quickologi)

Omständigheter som påverkar bevisvärderingen avseende alla åtta mord:

1. Erkännandet (s. 138 p. 40 i Quickologi)

2.Berättelsen som sådan med detaljer, hängde ihop etc. (s. 137 p. 39)

3. TQs bakgrund med våld och tidigare övergrepp (s. 117 p. 1)

4. Den psykiatriska diagnosen (s. 117 p. 2)

5. Alla utredningar nedlagda när han erkände, morden ouppklarade (s. 118 p. 3)

6. Det finns ingen annan rejält misstänkt (s. 118 p. 3)

7. Nästan alla uppfattade att TQ i huvudsak talade sanning (s. 118 p. 4)

8. Cigarrettpaketet med könshåren (s. 136 p. 36)

9. Zampos markeringar i ärenden som inte åtalades (s. 248 f.)

10. Inte alibi (s. 118 p. 5)

11. Mycket få konkreta omständigheter som talar mot hans skuld (s. 118 p. 5)

12. Inget i förundersökningarna gav skäl till misstanke att TQ ljög (s. 118 p. 6)

13. Boken Kvarblivelse bör ha varit svår att ljuga ihop (s. 118 p. 7)

14. TQ skrev grova sexualsadistiska texter på Säter (s. 119 p. 8)

Omständigheter som avser enbart Charles:

15. Sågen som hittades med metallsökare (s. 128 p. 42 i Quickologi)

16. Fyndplatsen som TQ hittade till längs en egen väg (s. 129 p. 44)

17. Mossan och dikena som han hade nämnt tidigare (s. 129 p. 43 och 45)

18. TQs berättelse om den person som sades ha varit med stämde (s. 129 p. 46)

19. Den stora stenen där kroppen återfanns (s. 135 p. 29)

20. Kroppens placering (s. 135 p. 30)

21. Kroppsdelarna under mossan, vissa fattades (s. 135 p. 31)

22. Den ena skon var borta (s. 136 p. 32)

23. Charles sinnesstämning (s. 136 p. 33)

24. Bältet och jeansen (s. 136 p. 34)

Jag använder tills vidare sex omständigheter i beräkningen. Av de omständigheter som avser alla morden samlar jag liksom beträffande morden på Therese och Johan ihop de sju första till en, ”erkännandet, berättelsen, TQ:s bakgrund och diagnos, utredningen var nedlagd, mordet är ouppklarat och ingen rejält misstänkt finns samt nästan alla inblandade uppfattade att han talade sanning”. Vidare lägger jag ihop omständigheterna 16 och 17 till ”starka bevis för att Bergwall varit på den plats där Charles kropp hittades” och 19 och 20 till ”kroppens placering”. I övrigt använder jag mig av punkterna 15 (sågen som hittades efter TQs uppgifter), 21 (kroppsdelarna under mossan med vissa som saknades) och berättelsen om den person som sades ha varit med (18).

För att repetera använder jag alltså följande sex omständigheter:

2. Starka bevis för att TQ varit på den plats där kroppen hittades.

3. Kroppens placering i skogen.

4. Sågen.

5. Kroppsdelarna.

6. Den person som skulle ha varit med.

Motbevisningen består även i detta fall främst i ifrågasättanden av de enskilda bevisen. Den enskilt viktigaste invändningen är att det inte är bevisat att Charles Zelmanovits mördades. Jag beaktar motbevisningen genom att ta hänsyn till den i värderingen av de bevis som jag använder i beräkningarna.

För att åter repetera Bayes sats ser den alltså ut så här: Sannolikheten för skuld givet viss omständighet är lika med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] delat med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] plus [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet oskuld gånger ursprungssannolikheten för oskuld]. – Formeln används vid varje beräkning, varvid resultatet av den föregående beräkningen inkorporeras i A på så sätt att ursprungssannolikheten, P (A), i den följande beräkningen tar hänsyn till det bevis som användes i den föregående. I det första steget står alltså A för ”skuld utan bevis”, i det andra steget för ”skuld när hänsyn tas till det bevis som användes vid den förra beräkningen” osv.

I den första uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet det som vi kan kalla den utvidgade ursprungssannolikheten (den som följer av erkännandet, berättelsen, TQ:s bakgrund och diagnos, att utredningen var nedlagd, att mordet – om det nu var ett mord – är ouppklarat och att ingen rejält misstänkt finns samt att nästan alla inblandade uppfattade att TQ talade sanning). För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger givet att Bergwall är skyldig. – Jag värderar den även i detta fall till 0,8 (lågt tror jag).

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet att han inte som utgångspunkt antas vara mer skyldig än någon annan vuxen person i Sverige. – Den är 0,999999875.

Det ger följande:

I den andra uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet bevisen för att han hade varit på den plats där kroppen hittades (nytt bevis i denna uträkning) och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att bevisningen för att Bergwall var på platsen föreligger givet att han är skyldig och att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger. – Denna sannolikhet måste rimligen vara ganska hög, för varför skulle han annars ha varit på denna avsides plats? Jag värderar den, möjligen för lågt räknat, till 0,9.

3. Sannolikheten för att bevisningen för att han var på platsen föreligger givet att Bergwall är oskyldig och att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen mycket låg. Invändningen att han hittade till platsen eftersom stigen var upptrampad har inte någon bärkraft, eftersom han faktiskt gick in till fyndplatsen från ett annat håll än det som poliserna kommit dit från tidigare. Påståendet om den upptrampade stigen förefaller uppdiktat. Hans uppgifter om mossan och dikena ger visst stöd för att han hade varit på platsen tidigare. Jag värderar sannolikheten, högt tror jag men med beaktande av en viss liten risk för att han trots allt hjälptes fram till fyndplatsen, till 0,1.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten. – Den är 1 minus 0,00000019999999 = 0,99999980.

Det ger följande:

P (skuld givet bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,9 x 0,00000019999999] / [0,9 x 0,000000199999999] + [0,1 x 0,99999980] = 0,00000018 / [0,00000018 + 0,099999980] = 0,00000018 / 0,10000016 ≈ 0,0000018 – alltså 0,00018 % än så länge. Jag tror inte det finns någon som hävdar att detta är för högt. Det är i varje fall inte i närheten av den bevisvikt som man skulle ha fäst vid de hittills medtagna omständigheterna vid en vanlig domstolsvärdering.

I den tredje uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet kroppens placering i skogen (nytt bevis i denna uträkning), bevisen för att han hade varit på den plats där kroppen hittades och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att Bergwall kunde berätta om kroppens placering i skogen på det sätt som skedde givet att han är skyldig, den utvidgade ursprungssannolikheten och bevisningen för att han var på platsen. – Denna sannolikhet måste bedömas som hög. Om han är skyldig och mindes platsen vore det nästan konstigt om han inte mindes åtminstone var kroppen var placerad och ungefär hur. Jag värderar sannolikheten, möjligen för lågt, till 0,8.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet bevisningen för att han hade varit på platsen, den utvidgade ursprungssannolikheten och att den skyldige är en av de ca 8 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 2, den är 0,0000018.

3. Sannolikheten för att Bergwall kunde berätta om kroppens placering i skogen givet att han är oskyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger och att även bevisningen för att han var på platsen föreligger. – Bedömningen av denna sannolikhet beror i hög grad på vad man tror i frågan om huruvida han fick hjälp med placeringen. För min del vill jag hävda att denna sannolikhet är mycket låg, men många har en annan uppfattning. Det kan då vara rimligt att vara mycket försiktig och värdera sannolikheten till 0,5, alltså att det var en risk på två att han kunde berätta om kroppens placering som han gjorde även om han var oskyldig och den övriga nämnda bevisningen förelåg. Jag värderar alltså sannolikheten, högt tror jag alltså men med beaktande av invändningarna, till 0,5.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten och bevisningen för att han var på platsen. – Den är 1 minus 0,0000018 = 0,9999982 (jfr p. 2).

Det ger följande:

P (skuld givet hans berättelse om kroppens placering, bevisningen för att han hade varit på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,8 x 0,0000018] / [0,8 x 0,0000018] + [0,5 x 0,9999982] = 0,00000144 / [0,00000144 + 0,4999991] = 0,00000144 / 0,49999244 ≈ 0,00000288 – alltså 0,00029 % än så länge. Det står klart att det framräknade värdet ligger långt under den bevisvikt som man skulle ha fäst vid de hittills medtagna omständigheterna vid en vanlig domstolsvärdering.

I den fjärde uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att sågen hittades med metallsökare under mossan längst den väg som TQ hade anvisat (nytt bevis i denna uträkning), kroppens placering i skogen, bevisen för att han hade varit på den plats där kroppen hittades och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att man skulle hitta en ”passande” såg under mossan längs den väg som Bergwall anvisade givet att han är skyldig, den utvidgade ursprungssannolikheten, bevisningen för att han var på platsen och att han berättade om kroppens placering i skogen på det sätt som skedde. – Denna sannolikhet måste bedömas som relativt låg, för Bergwall sa sig inte över huvud taget minnas vad som hade hänt med sågen. Även om han är skyldig, och mindes platsen och kroppens placering, var det inte särskilt troligt att man skulle hitta sågen. Den omständigheten att man faktiskt hittade den ska som jag förstår det inte vägas in i denna sannolikhet. Jag värderar sannolikheten, möjligen för högt, till 0,3. (Hur denna sannolikhet värderas spelar inte någon stor roll för resultatet.)

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet det han berättade om kroppens placering, bevisningen för att han hade varit på platsen, den utvidgade ursprungssannolikheten och att den skyldige är en av de ca 8 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 3, den är 0,00000288.

3. Sannolikheten för att sågen skulle hittas med metallsökare under mossan längst den väg som Bergwall hade anvisat givet att han är oskyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att bevisningen för att han var på platsen föreligger och att han berättade som han gjorde om kroppens placering i skogen. – Det är svårt att se hur det över huvud taget skulle kunna inträffa att en såg skulle hittas under mossan – därtill av det slag som Bergwall sa sig ha använt – längs den väg som han hade angett. Det vore en oerhörd tillfällighet om uppgiften vore påhittad. Här finns inte någon manipuleringsmöjlighet förutom möjligheten att polisen sa sig ha hittat en såg fast man inte hade gjort det. Ingen har hävdat detta som en rimlig möjlighet, och det finns inte anledning att beakta den. Jag värderar sannolikheten, högt tror jag, till 0,000001, alltså en på en miljon. Men för att fortsätta på spåret med utomordentligt försiktigt angivna indata använder jag sannolikheten 0,0001, alltså en chans på tio tusen.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten, bevisningen för att han var på platsen och hans berättelse om kroppens placering. – Den är 1 minus 0,00000288 = 0,99999712 (jfr p. 2).

Det ger följande:

P (skuld givet fyndet av sågen, Bergwalls berättelse om kroppens placering, bevisningen för att han hade varit på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,3 x 0,00000288] / [0,3 x 0,00000288] + [0,0001 x 0,99999712] = 0,00000086 / [0,00000086 + 0,000099999712] = 0,00000086 / 0,00010085712 ≈ 0,00852752 – alltså 0,85 % än så länge. Jag tror inte att någon sakkunnig person invänder mot att värdet vid en normal bevisvärdering, alltså utan matematiska beräkningar, ligger väldigt mycket högre än så.

I den femte uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att det bland kroppsdelarna under mossan skulle saknas i huvudsak de som Bergwall sa sig ha tagit med (nytt bevis i denna uträkning), sågen som hittades med metallsökare under mossan längs den väg som TQ hade anvisat kroppens placering i skogen, bevisen för att han hade varit på den plats där kroppen hittades och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att det bland kroppsdelarna under mossan skulle saknas i huvudsak de som Bergwall sa sig ha tagit med givet att Bergwall är skyldig, den utvidgade ursprungssannolikheten, bevisningen för att han var på platsen, att han berättade om kroppens placering i skogen på det sätt som skedde och att man skulle hitta sågen under mossan längs den väg som Bergwall anvisade. – Denna sannolikhet måste bedömas som mycket hög, för om Bergwall verkligen är skyldig finns det all anledning att tro honom när det gäller kroppsdelarna. Jag värderar sannolikheten, möjligen för lågt, till 0,9.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att man hittade sågen längs den väg som han angav, det han berättade om kroppens placering, bevisningen för att han hade varit på platsen, den utvidgade ursprungssannolikheten och att den skyldige är en av de ca 8 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 4, den är ca 0,00852752.

3. Sannolikheten för att det bland kroppsdelarna under mossan skulle saknas i huvudsak de som Bergwall sa sig ha tagit med givet att han är oskyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att bevisningen för att han var på platsen föreligger, att han berättade som han gjorde om kroppens placering i skogen och att sågen hittades med metallsökare under mossan längs den väg som Bergwall hade anvisat. – Denna sannolikhet måste rimligen bedömas som utomordentligt liten. Det har hävdats att vilda djur kunde ha dragit bort en del kroppsdelar, men varför skulle de ha tagit just de som enligt Bergwall borde saknas? Jag värderar sannolikheten, högt tror jag, till 0,000001, alltså en på en miljon. Men för att fortsätta på spåret med utomordentligt försiktigt angivna indata använder jag även här sannolikheten 0,0001, alltså en chans på tio tusen.

4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten, bevisningen för att han var på platsen, hans berättelse om kroppens placering och att sågen återfanns under mossan längs den väg som Bergwall angav. – Den är 1 minus 0,00852752 = 0,99147248 (jfr p. 2).

Det ger följande:

P (skuld givet kroppsdelarna, fyndet av sågen, Bergwalls berättelse om kroppens placering, bevisningen för att han hade varit på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,9 x 0,00852752] / [0,9 x 0,00852752] + [0,0001 x 0,99147248] = 0,007674768 / [0,007674768 + 0,000099147248] = 0,007674768 / 0,007773915248 ≈ 0,987246163 – alltså ca 98,72 % än så länge.

I den sjätte uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet berättelsen om den man som sades ha varit med (nytt bevis i denna uträkning), att det bland kroppsdelarna under mossan skulle saknas i huvudsak de som Bergwall sa sig ha tagit med, sågen som hittades med metallsökare under mossan längs den väg som TQ hade anvisat, kroppens placering i skogen, bevisen för att han hade varit på den plats där kroppen hittades och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):

1. Sannolikheten för att berättelsen om den man som sades ha varit med skulle stämma givet att Bergwall är skyldig, den utvidgade ursprungssannolikheten, bevisningen för att han var på platsen, att han berättade om kroppens placering i skogen på det sätt som skedde, att man skulle hitta sågen under mossan längs den väg som Bergwall anvisade och att det bland kroppsdelarna under mossan skulle saknas i huvudsak de som Bergwall sa sig ha tagit med. – Denna sannolikhet måste bedömas som mycket hög. En annan sak är att den inte har något särskilt högt bevisvärde för att Bergwall verkligen är skyldig. Det visar sig också i beräkningen. Jag värderar sannolikheten, möjligen för lågt, till 0,9.

2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att ”rätt” kroppsdelar saknades, att man hittade sågen längs den väg som Bergwall angav, det han berättade om kroppens placering, bevisningen för att han hade varit på platsen, den utvidgade ursprungssannolikheten och att den skyldige är en av de ca 8 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 5, den är ca 0,987246163.

3. Sannolikheten för att Bergwall skulle berätta om en man som han sa hade varit med och att denna berättelse skulle stämma och passa i tiden givet att Bergwall är oskyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att bevisningen för att han var på platsen föreligger, att han berättade som han gjorde om kroppens placering i skogen, att sågen hittades med metallsökare under mossan längs den väg som Bergwall hade anvisat och att det bland kroppsdelarna under mossan saknades i huvudsak de som Bergwall sa sig ha tagit med. – Denna sannolikhet har inte någon tydlig koppling till Bergwalls eventuella oskuld. Bevisvärdet ligger främst i att Bergwall avgav en berättelse som stämde och som kunde ha koppling till mordet samt att det han berättade om faktiskt hade inträffat i nära anslutning till tidpunkten för mordet. Men sannolikheten får nog – för att beviset inte ska övervärderas – bedömas ligga över 0,1, kanske på 0,2.

Det ger följande:

P (skuld givet berättelsen om ”medhjälparen”, kroppsdelarna, fyndet av sågen, Bergwalls berättelse om kroppens placering, bevisningen för att han hade varit på platsen och den utvidgad ursprungssannolikheten) = [0,9 x 0,987246163] / [0,9 x 0,987246163] + [0,2 x 0,012753837] = 0,8885215467 / [0,8885215467 + 0,0025507674] = 0,8885215467 / 0,8910723141 ≈ 0,9971374182 – alltså ca 99,71 %.

Efter att jag har tagit hänsyn till sex av bevisomständigheterna i Zelmanovits-fallet har jag alltså kommit fram till ett bevisvärde på drygt 99,71 %. Det finns då inte anledning att gå vidare med beräkningarna. Men det ska konstateras att det inte finns tillnärmelsevis lika mycket ”överbevisning” i detta fall som i de båda andra.

5 Sammanfattning och slutsatser

Jag har kommit fram till följande sannolikheter för skuld i de tre fall där jag nu har gjort beräkningar.

Therese Johannessen: Efter att ha tagit hänsyn på ett försiktigt sätt till sex av bevisomständigheterna i Therese-fallet har jag kommit fram till ett bevisvärde på drygt 99,9999 %. Jag har då också tagit hänsyn till den motbevisning som finns. Därtill finns en hel del positiv bevisning som inte är beaktad.

Johan Asplund: Efter att ha tagit hänsyn till fem av bevisomständigheterna i Johan-fallet, även här påtagligt försiktigt, har jag kommit fram till ett bevisvärde på drygt 99,999 %. Jag har då också tagit hänsyn till den motbevisning som finns. Det finns en hel del positiv bevisning som jag inte har beaktat.

Charles Zelmanovits: Efter beaktande av sex av bevisomständigheterna har jag, med hänsyn tagen även till motbevisningen, kommit fram till ett bevisvärde på drygt 99,71 %. Även här har jag varit försiktig när jag har åsatt sannolikhetsvärden. Det finns dock inte tillnärmelsevis lika mycket ”överbevisning” i detta fall som i de båda andra.

Jag tror att ingen som följer mina beräkningar kan hävda att bevisomständigheterna är övervärderade. Tvärtom har de i flera fall åsatts ett sannolikhetsvärde som måste bedömas vara inte bara försiktigt utan tydligt för lågt.

Bevisläget när domstolarna prövade åtalen var alltså sådant att det inte finns något tvivel om att det var rätt att döma Thomas Quick för de tre här berörda morden.

Men dessutom: Det som har framkommit sedan Sture Bergwall tog tillbaka sina erkännanden påverkar inte på något betydelsefullt sätt de beräkningar som jag har gjort. De höga sannolikhetsvärdena kvarstår alltså i dag. Det finns därför inte någon anledning att anta annat än att bevisningen även i dag skulle räcka med god marginal för fällande domar.

Resningsåklagarna har gjort mycket allvarliga felbedömningar i de tre fallen. Ännu allvarligare är dock de felbedömningar som Bergwallkommissionen har gjort när man menat att domstolarna inte borde ha fällt Thomas Quick på grundval av den bevisning som då fanns. Man får konstatera att de resonemang som kommissionen för i dessa delar (se s. 185 ff., 382 ff., 568 ff., och 604 ff., särskilt s. 606 m) är slarviga (notera bl.a. ett par stavfel som knappast bör passera om fler än en person läser en text) och undanglidande. Som exempel kan nämnas att hundmarkeringarna - den i sammanhanget kanske viktigaste bevisningen - inte över huvud taget nämns när kommissionen värderar tingsrätternas bevisprövning.

Kommissionens felbedömningar är allvarliga särskilt därför att felen har tjänat till att befästa den orättfärdiga kritiken mot framför allt fem personer: Christer van der Kwast, Seppo Penttinen, Claes Borgström, Sven Å. Christianson och Birgitta Ståhle. Kritiken bygger nämligen på att Sture Bergwall blev felaktigt dömd. Enligt min mening är det inte godtagbart att kritiken, som staten får anses ha ett ansvar för, blir bestående i ett läge där en sakkunnig lätt kan konstatera att Sture Bergwall inte blev felaktigt dömd.

Detta är ett extramaterial till boken Quickologi.