Beräkningar enligt Bayes sats av det ackumulerade värdet av flera bevis
Jag har tidigare haft svårigheter att beräkna ackumulerade bevisvärden med den s.k. Bayes sats, vilken av matematiker anvisas som den riktiga formeln för sådana beräkningar. Den 18 augusti 2016 fick jag emellertid en tvåtimmars lektion av docenten Arvid Sjölander på KI (stort tack!). Jag tycker att jag nu förstår ganska bra hur Bayes sats fungerar och hur man ska tänka när man använder den. Nedan försöker jag tillämpa Bayes sats, dels på det enkla exempel som jag angav i min ”halvårsbetraktelse” den 1 juli i år, se http://goranlambertz.se/halvarsbetraktelse-2016/, dels på ett av Quick-fallen, det som gäller mordet på Therese Johannessen.
1 Exemplet i halvårsbetraktelsen
Anta att det finns färska fingeravtryck från en misstänkt tjuv på en brottsplats, att en kvinna säger sig säker på att hon såg den misstänkte på platsen vid tidpunkten för inbrottet och att ett halsband som stals vid inbrottet hittas hemma hos den misstänkte. Mannen säger att han inte har varit på platsen och att han inte har en aning om varför hans fingeravtryck finns där eller varför vittnet säger sig känna igen honom. Halsbandet köpte han av en person som han inte vill namnge. Och anta att vi av erfarenhet kan säga att ett fingeravtryck av detta slag innebär att det är 99 % sannolikhet för att personen var på plats, att vittnesberättelsen ger en sannolikhet på 70 % och att fyndet av halsbandet ger en motsvarande sannolikhet på 80 %.
Med multiplikationsmetoden har jag räknat på samma sätt som när man beräknar sannolikheten för exempelvis tre sexor i följd med en tärning (1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216 ≈ en halv procent) eller tre ”klave” i följd med en enkrona (½ x ½ x ½ = 1/8 = 12,5 %). Sannolikheten för att alla tre sakerna inträffar samtidigt (annans fingeravtryck eller avtryck från ett annat tillfälle, felaktig vittnesiakttagelse och annan förklaring till fynd av stöldgods) är med en sådan beräkning 0,06 %. Därmed är sannolikheten för att alla tre sakerna inte inträffar samtidigt 99,94 %. Det är i huvudsak på detta sätt som domstolar resonerar när de värderar bevisning, dock utan att använda siffror. Metoden är dock enligt flera matematiker inte korrekt, och det är säkert riktigt. Jag tror man kan säga att det beror på (kanske bl.a.) att olika bevis inte är oberoende av varandra i den mening som faktorer ska vara för att man ska kunna använda multiplikationsformeln (se Peter Olofsson, Probabilities, s. 14 f.).
I fortsättningen kommer jag att avstå från att räkna med multiplikationsmetoden. Även om den nog ger ett ”hyggligt närmevärde”, bör man inte använda ett matematiskt felaktigt sätt att räkna. En annan sak är att det samlade bevisvärdet av flera starka bevis naturligtvis är mycket högre än värdet av ett enda bevis. Detta framgår också vid en beräkning med Bayes sats.
2 Bayes sats
Bayes sats kan beskrivas i symboler så här: P (A givet B) = [P (B givet A) x P (A)] / [P (B givet A) x P (A)] + [P (B givet ej A) x P (ej A)]. Och i ord kan den beskrivas enligt följande:
Sannolikheten för skuld givet viss omständighet är lika med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] delat med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] plus [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet oskuld gånger ursprungssannolikheten för oskuld].
Man använder formeln i flera steg och för in ett bevis i taget. Och formeln är alltså, återigen:
P (A givet B) = [P (B givet A) x P (A)] / [P (B givet A) x P (A)] + [P (B givet ej A) x P (ej A)]
Denna formel ska användas vid varje beräkning, varvid resultatet av den föregående beräkningen inkorporeras i A på så sätt att ursprungssannolikheten, P (A), i den följande beräkningen tar hänsyn till det bevis som användes i den föregående. I det första steget står alltså A för ”skuld utan bevis”, i det andra steget för ”skuld när hänsyn tas till det bevis som användes vid den förra beräkningen” osv.
Även motbevisning måste självfallet beaktas. Det kan i princip ske på tre olika sätt. Vilket som är lämpligast beror framför allt på vilket slag av bevisning det rör sig om. Motbevisning kan för det första beaktas genom att man tar hänsyn till den när man anger värdet på den positiva bevisningen. Den kan för det andra beaktas genom att man lägger in varje enskilt motbevis i formeln. Och för det tredje kan den beaktas genom ”kvittning”, alltså genom att man låter ett visst motbevis ta ut ett bevis av ungefär samma värde. Eftersom beräkningarna under alla förhållanden är mycket ungefärliga kan man normalt välja det första eller det tredje sättet. Rör det sig om ett starkt motbevis, som är oberoende av den positiva bevisningen, bör det dock läggas in i formeln och således direkt påverka resultatet av den samlade beräkningen.
3 Beräkning med Bayes sats i exemplet ovan under 1
I den första uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att den misstänkte är skyldig givet fingeravtrycken. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):
1. Sannolikheten för att fingeravtrycken finns där givet att den misstänkte är skyldig. – Jag värderar den till 0,1.
2. Ursprungssannolikheten för att den misstänkte är skyldig, om vi utgår från att den skyldige är en av de ca 6 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år. – Den är 1 på 6 miljoner, alltså 0,00000017.
3. Sannolikheten för att fingeravtrycken finns där (eller felaktigt identifieras som den misstänktes) givet att den misstänkte är oskyldig. – Jag värderar den till 0,000001, alltså en på en miljon.
4. Ursprungssannolikheten för att den misstänkte är oskyldig utifrån förutsättningen i p. 2. – Den är 0,99999983.
Det ger följande:
P (skuld givet fingeravtryck) = [0,1 x 0,00000017] / [0,1 x 0,00000017] + [0,000001 x 0,99999983] = 0,000000017 / [0,000000017 + 0,00000099999983] = 0,000000017 / 0,000001017 ≈ 0,0167 (Överraskande lågt får man väl säga.)
I den andra uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att den misstänkte är skyldig givet vittnesberättelsen och fingeravtrycken. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):
1. Sannolikheten för att vittnet säger som hon gör givet att den misstänkte är skyldig och har avsatt fingeravtrycken. – Jag värderar den till 0,5.
2. Sannolikheten för att den misstänkte är skyldig, om vi utgår från dels att den skyldige är en av de ca 6 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år, dels att hens fingeravtryck fanns på platsen. – Den sannolikheten fick vi i den förra beräkningen, den är 0,0167.
3. Sannolikheten för att vittnet säger som hon gör givet att den misstänkte är oskyldig och har avsatt fingeravtrycken. – Jag värderar den till 0,001, alltså en på tusen.
4. Ursprungssannolikheten för att den misstänkte är oskyldig givet att hen har avsatt fingeravtrycken. – Den är 1 minus 0,0167 = 0,9833.
Det ger följande:
P (skuld givet vittnesutpekande och fingeravtryck) = [0,5 x 0,0167] / [0,5 x 0,0167] + [0,001 x 0,983] = 0,00836 / [0,00836 + 0,0009833] = 0,00836 / 0,0093433 ≈ 0,895
I den tredje uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att den misstänkte är skyldig givet halsbandet, vittnesberättelsen och fingeravtrycken. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):
1. Sannolikheten för att halsbandet från inbrottet hittas hos den misstänkte givet att den misstänkte är skyldig och har avsatt fingeravtrycken samt att vittnet berättar som hon gör . – Jag värderar den till 0,5.
2. Ursprungssannolikheten för att den misstänkte är skyldig, om vi utgår från dels att den skyldige är en av de ca 6 milj. personer som bor i Sverige och är mellan 13 och 70 år, dels att hans fingeravtryck fanns på platsen, dels slutligen att vittnet pekade ut honom. – Den sannolikheten fick vi i den förra beräkningen, den är 0,895.
3. Sannolikheten för att halsbandet från inbrottet hittas hos den misstänkte givet att den misstänkte är oskyldig, att hans fingeravtryck finns på platsen och att vittnet har pekat ut honom. – Jag värderar den till 0,000001, alltså en på en miljon.
4. Ursprungssannolikheten för att den misstänkte är oskyldig givet fingeravtrycken och vittnet. – Den är enligt den andra uträkningen 1 minus 0,895 = 0,105.
Det ger följande:
P (skuld givet vittnesutpekande, fingeravtryck och halsbandsfynd) = [0,5 x 0,895] / [0,5 x 0,895] + [0,000001 x 0,105] = 0,4475 / [0,4475 + 0,000000105] = 0,4475 / 0,447500105 ≈ 0,99999978
Jag får alltså 99,999978 % sannolikhet för att den misstänkte är skyldig med Bayes sats. (Som tidigare sagts fick jag 99,94 % med multiplikationsmetoden. Men där handlar det om andra siffror och ett felaktigt sätt att räkna.)
4 Exemplet Therese Johannessen
Angående detta fall, se Quickologi s. 99 f.
Bevisomständigheter beträffande Therese (se s. 117 ff., 119 ff., 130 f., 136 ff., 248 f. 271 ff. och 300 f. i Quickologi)
Omständigheter som påverkar bedömningen av alla åtta mord:
1. Erkännandet (s. 138 p. 40 i Quickologi)
2. Berättelsen som sådan med detaljer, hängde ihop etc. (s. 137 p. 39)
3. TQs bakgrund med våld och tidigare övergrepp (s. 117 p. 1 i Quickologi)
4. Den psykiatriska diagnosen (s. 117 p. 2)
5. Alla utredningar nedlagda när han erkände, morden ouppklarade (s. 118 p. 3)
6. Det finns ingen annan rejält misstänkt (s. 118 p. 3)
7. Nästan alla uppfattade att TQ i huvudsak talade sanning (s. 118 p. 4)
8. Cigarrettpaketet med könshåren (s. 136 p. 36)
9. Zampos markeringar i ärenden som inte åtalades (s. 248 f.)
10. Inte alibi (s. 118 p. 5)
11. Mycket få konkreta omständigheter som talar mot hans skuld (s. 118 p. 5)
12. Inget i förundersökningarna gav skäl till misstanke att TQ ljög (s. 118 p. 6)
13. Boken Kvarblivelse bör ha varit svår att ljuga ihop (s. 118 p. 7)
14. TQ skrev grova sexualsadistiska texter på Säter (s. 119 p. 8)
Omständigheter som avser enbart Therese:
15. Inristningen i björken i Örjeskogen (s. 119 p. 1)
16. Klipputsprånget (s. 120 p. 2)
17. Sågbladet i Örjeskogen (s. 120 p. 3)
18. Bålplatsen vid Ringentjärn (s. 120 p. 4)
19. Vägbommen (s. 120 p. 5)
20. Huset och häcken vid Haerlands kyrka (s. 120 p. 6)
21. Zampos markering i klippskrevan (s. 121 p. 7)
22. Zampos markeringar i övrigt i Therese-utredningen (s. 121 p. 7)
23. Den norska hunden Oscars markeringar på pläden (s. 121 p. 7)
24. Pläden hade lagts ut någon gång 1987-89 (s. 121 p. 7)
25. Bräderna i bostadsområdet Fjell (s. 121 p. 8)
26. Balkongerna i bostadsområdet Fjell (s. 122 p. 9)
27. Skissen över Fjell (s. 122 p. 10)
28. P-platsen vid vägen mot Fjell (s. 122 p. 11)
29. Daghemmet och banken (s. 122 p. 12)
30. Stängd väg mot Fjell (s. 122 p. 13)
31. Astmaandning (s. 122 p. 14)
32. Eksem (s. 122 p. 15)
33. Utvuxna framtänder (s. 122 p. 16)
34. Den krockade Mazdan (s. 123 p. 17)
35. Metallbit och kol vid bålplats (s. 123 p. 18)
Av praktiska skäl väljer jag tills vidare att använda sex omständigheter i beräkningen. Av de omständigheter som avser alla morden samlar jag ihop de sju första till en, ”erkännandet, berättelsen, TQ:s bakgrund och diagnos, utredningen var nedlagd, mordet är ouppklarat och ingen rejält misstänkt finns, nästan alla inblandade uppfattade att han talade sanning”. Vidare lägger jag ihop omständigheterna 25-30 till ”mycket starka bevis för att Bergwall var på platsen ungefär vid tiden för Thereses försvinnande” och omständigheterna 31-33 till ”TQ kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese”. I övrigt använder jag mig av punkterna 15 (inristningen), 17 (sågbladet) och 21 (Zampos markering).
Jag använder alltså följande sex omständigheter:
1. Erkännandet, berättelsen, TQ:s bakgrund och diagnos, utredningen var nedlagd, mordet är ouppklarat och ingen rejält misstänkt finns, nästan alla inblandade uppfattade att han talade sanning.
2. Mycket starka bevis för att Bergwall var på platsen ungefär vid tiden för Thereses försvinnande.
3. TQ kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese.
4. Inristningen i björken.
5. Sågbladet som hittades i skogen efter TQ:s anvisning.
6. Zampos markering i klippskrevan.
Vid beräkningarna med Bayes sats är det av helt central betydelse för resultatet vilka sannolikhetsvärden som stoppas in i formeln. För att vara säker på att bevisvärdet inte överdrivs väljer jag genomgående sannolikhetsvärden som måste anses något undervärdera bevisen, snarare än tvärtom. För att också ta höjd för invändningen att Thomas Quick kan ha fått kännedom om omständigheten från någon annan, vilket skulle leda till ett dramatiskt lägre bevisvärde, väljer jag också att anta att så faktiskt är fallet när det över huvud taget är möjligt. När en uppgift inte säkert är unik i den meningen att Quick lämnade den innan polisen eller medierna kände till den, utgår jag alltså från att han inte själv kände till den utan hade fått kunskap om den från annat håll.
Motbevisningen i Therese-fallet består främst i ifrågasättanden av de enskilda bevisen. Till den delen beaktar jag den genom att ta hänsyn till den i värderingen av de bevis som jag använder i beräkningarna. Det finns dessutom ett motbevis som är oberoende av den positiva bevisningen, nämligen alibibevisningen avseende att Bergwall möjligen arbetade i kiosken i Grycksbo när mordet begicks (se s. 274 i Quickologi). Detta bevis kvittar jag mot all den positiva bevisning som jag inte tar med i beräkningarna.
5 Beräkning med Bayes sats i exemplet Therese Johannessen
Bayes sats ser alltså ut så här: Sannolikheten för skuld givet viss omständighet är lika med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] delat med [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet skuld gånger ”ursprungssannolikheten” för skuld] plus [sannolikheten för att omständigheten föreligger givet oskuld gånger ursprungssannolikheten för oskuld].
I den första uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet det som vi kan kalla den utvidgade ursprungssannolikheten (den som följer av erkännandet, berättelsen, TQ:s bakgrund och diagnos, att utredningen var nedlagd, att mordet är ouppklarat och att ingen rejält misstänkt finns samt att nästan alla inblandade uppfattade att TQ talade sanning). För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):
1. Sannolikheten för att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger givet att Bergwall är skyldig. – Jag värderar den, bl.a. med beaktande av att siffran skulle bli mycket hög om jag tog en omständighet i taget, till 0,8 (lågt tror jag).
2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig, om vi utgår från att den skyldige är en av de ca 10 milj. personer som bor i Sverige och Norge och är mellan 13 och 70 år. – Den är 1 på 10 miljoner, alltså 0,0000001.
3. Sannolikheten för att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger givet att Bergwall är oskyldig. – Med beaktande av all osäkerhet som föreligger kring erkännandet och berättelserna (att Sture Bergwall har tagit tillbaka erkännandena, att han ibland var allvarligt påverkad av benso-diazepiner, att han var allvarligt psykiskt störd, att han lämnade uppgifter om två pojkar i Norge som visade sig vara vid liv, att han hade möjlighet att lära sig en del detaljer av polis och genom tidningsstudier, att han ofta ändrade sig (t.ex. beträffande medgärningsmän) och att hans uppgifter ibland var motstridiga, att han ibland fick ledande frågor och att risken för falska erkännanden är förhöjd hos en person som under påverkan av bensodiazepiner genomgår en suggestiv psykoterapi) värderar jag denna sannolikhet, mycket högt tror jag för att inte gå händelserna i förväg, till 0,5.
4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet att han inte som utgångspunkt antas vara mer skyldig än någon annan vuxen person i Sverige eller Norge. – Den är 0,9999999.
Det ger följande:
P (skuld givet utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,8 x 0,0000001] / [0,8 x 0,0000001] + [0,5 x 0,9999999] = 0,00000008 / [0,00000008 + 0,49999995] = 0,00000008 / 0,50000003 ≈ 0,00000016
I den andra uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet bevisen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):
1. Sannolikheten för att bevisningen för att Bergwall var på platsen föreligger givet att han är skyldig och att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger. – Denna sannolikhet måste anses hög, även om det är ovanligt att man känner till så många detaljer. (Observera att siffran skulle bli väldigt hög om jag tog en omständighet i taget, det är kanske en felkälla.) Jag värderar den, mycket lågt räknat tror jag, till 0,6.
2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten och att den skyldige är en av de ca 10 milj. personer som bor i Sverige och Norge och är mellan 13 och 70 år. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 1, den är 0,00000016.
3. Sannolikheten för att bevisningen för att han var på platsen föreligger givet att Bergwall är oskyldig och att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen mycket låg, även om han förstås kan ha varit i Fjell. Jag värderar den, mycket högt tror jag, till 0,01.
4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten. – Den är 1 minus 0,00000016 = 0,99999984.
Det ger följande:
P (skuld givet bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,6 x 0,00000016] / [0,6 x 0,00000016] + [0,01 x 0,99999984] = 0,000000096 / [0,000000096 + 0,0099999984] = 0,000000096 / 0,0100000944 ≈ 0,0000096 – alltså bara 0,00096 % än så länge.
I den tredje uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, bevisen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):
1. Sannolikheten för att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger och att det fanns stark bevisning om att han hade varit i Fjell. – Denna sannolikhet måste anses hög, även om det är ovanligt att man känner till så många detaljer. (Observera att den ackumulerade siffran även här skulle bli väldigt hög om jag tog en omständighet i taget, något som dock kanske skulle innebära en övervärdering av de ackumulerade bevisen.) Jag värderar den, mycket lågt räknat tror jag, till 0,6.
2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet bevisningen för att han var i Fjell och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 2, den är 0,0000096.
3. Sannolikheten för att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese givet att han är oskyldig, att bevisningen för att han var på platsen föreligger och att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen utomordentligt låg. Jag värderar den, högt tror jag, till 0,000001, dvs. en på miljonen.
4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten och hans kännedom om bostadsområdet. – Den är 1 minus 0,0000096 = 0,9999904.
Det ger följande:
P (skuld givet hans kännedom om kroppsliga detaljer, bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,6 x 0,0000096] / [0,6 x 0,0000096] + [0,000001 x 0,9999904] = 0,00000576 / [0,00000576 + 0,000009999904] = 0,00000576 / 0,00001575 ≈ 0,36571429 – alltså 36,57 % än så länge.
I den fjärde uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han berättade om inristningen i björken, kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, bevisen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):
1. Sannolikheten för att han kunde berätta om inristningen i björken givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att det fanns stark bevisning om att han hade varit i Fjell och att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese. – Denna sannolikhet måste anses mycket hög, även om det kanske är ovanligt att man kommer ihåg sådana detaljer. Jag värderar den, mycket lågt räknat tror jag, till 0,8.
2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han kunde berätta om de kroppsliga egenheterna, bevisningen för att han var i Fjell och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 3, den är 0,3657.
3. Sannolikheten för att han kunde berätta om inristningen i björken givet att han är oskyldig, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, att bevisningen för att han var på platsen föreligger och att den utvidgade ursprungssannolikheten också föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen utomordentligt låg. Jag värderar den, högt tror jag, till 0,000001, dvs. en på miljonen.
4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten, hans kännedom om bostadsområdet och hans berättelse om de kroppsliga egenheterna. – Den är 1 minus 0,3657 = 0,6343.
Det ger följande:
P (skuld givet hans berättelse om inristningen, hans kännedom om kroppsliga detaljer, bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,8 x 0,3657] / [0,8 x 0,3657] + [0,000001 x 0,6343] = 0,29256 / [0,29256 + 0,0000006343] = 0,29256 / 0,2925606343 ≈ 0,99999785 – alltså 99,999785 % än så länge.
I den femte uträkningen ska jag räkna ut sannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han berättade om ett sågblad som sedan hittades, att han berättade om inristningen i björken, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, bevisen för att han var på platsen och den utvidgade ursprungssannolikheten. För det behöver jag följande fyra faktorer (som egentligen bara är tre eftersom nr 4 är 1 minus nr 2):
1. Sannolikheten för att Quick kunde berätta om sågbladet som sedan hittades givet att han är skyldig, att den utvidgade ursprungssannolikheten föreligger, att det fanns stark bevisning om att han hade varit i Fjell, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese och att han kunde berätta om inristningen i björken. – Denna sannolikhet måste anses mycket hög. Jag värderar den, lågt räknat tror jag, till 0,9.
2. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är skyldig givet att han berättade om inristningen, kände till de kroppsliga egenheterna, bevisningen för att han var i Fjell och den utvidgade ursprungssannolikheten. – Denna sannolikhet beräknade vi i uträkning 4, den är 0,99999785.
3. Sannolikheten för att han kunde berätta om det sågblad som sedan hittades givet att han är oskyldig, att han kunde berätta om inristningen i björken, att han kände till flera kroppsliga egenheter hos Therese, att bevisningen för att han var på platsen föreligger och att den utvidgade ursprungssannolikheten också föreligger. – Denna sannolikhet är rimligen utomordentligt låg. Jag värderar den, högt tror jag, till 0,000001, dvs. en på miljonen.
4. Ursprungssannolikheten för att Bergwall är oskyldig givet den utvidgade ursprungssannolikheten, hans kännedom om bostadsområdet, hans berättelse om de kroppsliga egenheterna och hans berättelse om inristningen. – Den är 1 minus 0,99999785 = 0,00000215.
Det ger följande:
P (skuld givet hans berättelse om sågbladet, hans kännedom om inristningen, hans kännedom om kroppsliga detaljer, bevisning för att han var på platsen och utvidgad ursprungssannolikhet) = [0,9 x 0,99999785] / [0,9 x 0,99999785] + [0,000001 x 0,00000215] = 0,89999806 / [0,89999806 + 0,0000000000215] = 0,89999806 / 0,899998060215 ≈ 0,9999999999? – alltså drygt 99,99999999 % än så länge.
Därmed har jag kommit så högt i sannolikhet/bevisvärde att jag inte bryr mig om att göra någon mer uträkning. Det är att märka att omständighet nr 6, Zampos markering i klippskrevan, måste bedömas vara ett betydligt starkare bevis än de jag hittills har använt för beräkningarna. Det är svårt att tänka sig att den som är oskyldig men spelar skyldig kan peka ut en plats i terrängen där en hund senare kommer att markera för död människa utan att samtidigt markera någon annanstans i omgivningen.
6 Slutsatser
1. Bayes sats är ett helt annat sätt att räkna än multiplikationsmetoden. Eftersom den sistnämnda metoden är matematiskt felaktig bör den inte användas för beräkning av det samlade bevisvärdet av flera starka bevis, även om det kan hävdas att den ger hyggliga närmevärden. Bayes sats är visserligen nästan omöjlig att begripa för en icke fackman. Men det avgörande är att den anses ge korrekta resultat, under förutsättning att de värden som matas in i den är korrekta. Bayes sats bör alltså användas.
2. Bayes sats ger överraskande låga sannolikheter så länge man räknar med bara ett eller två bevis. Men lägger man in flera positiva bevis ger den värden som framstår som realistiska vid en traditionell bevisvärdering utan siffror. Att värdena är överraskande låga när beräkningen görs utifrån enbart ett eller två bevis kan bero på att de sannolikhetsvärden som jag matat in i formeln är valda med god marginal.
3. Beräkningen i fallet Therese Johannessen visar att det ackumulerade värdet av bevisningen var utomordentligt högt. När hänsyn har tagits till fem bevisomständigheter, och många återstår att beakta, kan sannolikheten för skuld beräknas till drygt 99,99999999 %.